Я люблю:

 
 
 
Rambler's Top100
 
 
 
 

реферат «Рациональные уравнения и неравенства»

Вид:реферат

Описание

Линейные, однородные уравнения, уравнения и системы уравнений с параметрами. Алгебраические, дробно-рациональные, неравенства с параметрами.

Скачать бесплатно [117 K]


. Эти неравенства - равносильные.

Неравенства х > 0 и х2 > 0 - неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество х[0; +], а решение второго неравенства есть множество х[-; 0][0; +]. Эти множества не совпадают.

При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных неравенств.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. Р(х) > Q(x) - неравенство, Т(х) - выражение, которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хR.

Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) - равносильные.

Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) - верное числовое равенство, т.е. х =а - одно из решении неравенства Р(х) > Q(x), Т(а) - значение Т(х) при х =а.

По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) - верное числовое неравенство.

Следовательно, х = а - одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.

б) Пусть х = b - одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) -верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) - тоже верное числовое неравенство. Следовательно, х = b - решение неравенства P(x) > Q(x).

Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.

Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех хR, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.

Дано. P(x) + T(x) > Q(x) - неравенство, Т(х) - слагаемое, которое имеет смысл при всех хR.

Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) - T(x) - равносильные.

Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет смысл при всех хR; получим равносильное неравенство:

P(x) + T(x) - T(x) > Q(x) - T(x), отсюда P(x) > Q(x) - T(x).

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. P(x) > Q(x) - неравенство (1),

T(x) > 0, xR,

P(x)T(x) > Q(x)T(x) - неравенство (2).

Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.

Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) - верное числовое неравенство, т.е. х = а - одно из решении первого неравенства. T(a) - значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.

По свойству числовых неравенств P(a)T(a) > Q(a)T(a) - тоже верное числовое неравенство, т.е. х = а -одно из решении первого неравенства. Следовательно, если х= а - решение первого неравенства, то х = а - также решение второго неравенства.

Пусть при х = b неравенство P(b)T(b) > Q(b)T(b) - верное числовое неравенство, т.е. х = b - одно из решении второго неравенства.

По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) - тоже верное числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b - одно из решении первого неравенства.

Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.

Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.

Алгебраические неравенства.

Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0, a 0,

решениями которых будут:

при a > 0

x(- ; ), x( -; - ), x[ - ; ), x( -; - ],

при а < 0

x( -; - ), x( - ; ), x( -; - ], x[ - ; ).

Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0,

ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c 0,

где a, b, c некоторые действительные числа и а 0.

Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значении своих коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b2 - 4ac 0

x( -; )(; );

при а > 0 и D < 0 x любое действительное число;

при а < 0 и D 0

x( ; );

при а < 0 и D < 0

x = (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (-1).

Метод интервалов.

Пусть Рn(x) многочлен n-й степени с действительными коэффициентами, а c1, c2, , ci все действительные корни многочлена с кратностями k1, k2, , ki соответственно, причем с1 > c2 > > ci. Многочлен Pn(x) можно представить в виде

Рn(x) = (x - c1) k1(x - c2) k2 (x - ci)ki Qm(x), (3)

где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех хR. Положим для определенности, что Qm(x) > 0. Тогда при х > c1 все сомножители в разложении (3) положительны и Рn(х) > 0. Если с1 корень нечетной кратности (k1 нечетное), то при х(с2; с1) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Рn(х)<0. В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) меняет знак при переходе через корень с1. Если же с1 корень четной кратности (k1 четное), то все сомножители (в том числе и первый) при х(с2; с1) положительны и, следовательно, Рn(х) > 0 при х(c2; с1). В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) не меняет знак при переходе через корень с1.

Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с2 многочлен Рn(х) меняет знак, если k2 нечетное, и не меняет знака, если k2 четное. Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения

Рn(х) > 0, (4)

достаточно знать все действительные корни многочлена Рn(х) их кратности и знак многочлена Рn(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.

Пример: Решить неравенство

х4 + 3х3 - 4х > 0. (*)

Решение. Разложим на множители многочлен Р4(х), стоящий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем

Р4(х) = х(х3 + 3х2 - 4).

Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде

х3 + 3х2 - 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.

Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство (*) может быть записано в виде

х(х -1)(х + 2)2 > 0. (**)

Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.

Будем двигаться по оси Ох справа налево. При переходе через точку х = 1 многочлен Р4(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х = 1 простой корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х = 0 также простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, так как х = -2 корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р4 (х) схематически представлены на рис 1. Используя этот рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.

Ответ. х (-; -2) (-2; 0) (1; ).

Пример: Решить неравенство

(х2 - 3х - 2)(х2 - 3х + 1) < 10.

Решение: Пусть х2 - 3х - 2 = y. Тогда неравенство примет вид y(y +3) < 10, или y2 + 3y - 10 < 0, откуда (y + 5)(y - 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал -5<y<2. Таким образом, получаем систему неравенств

x2 - 3x - 2 < 2, x2 - 3x - 4 < 0,

или

x2 - 3x -2 > -5, x2 - 3x + 3 > 0,

откуда

(x - 4)(x + 1) < 0,

(x + )2 + > 0.

Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение этой системы есть интервал (-1; 4).

Ответ: (-1; 4).

Пример: Решить неравенство

х4 - 34х2 + 225 < 0.

Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х4 - 34х2 + 225 < 0. Полагая х2 = z, получаем квадратное уравнение z2 - 34z + 225 = 0, из которого находим: z1 = 9 и z2 = 25. Решая уравнения х2 = 9 и х2 = 25, получаем 4 корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит, х4 - 34х2 + 225 = (х + 5)(х + 3)(х - 3)(х - 5), и поэтому заданное неравенство иммет вид:

(х + 5)(х + 3)(х - 3)(х - 5) < 0.

Изображаем на координатной прямой точки -5, -3, 3, 5 и проводим кривую знаков. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и (3; 5).

Ответ: (-5; -3)(3; 5).

Пример: Решить неравенство

х4 - 3 < 2х(2х2 - х - 2).

Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное неравенство

х4 - 4х3 + 2х2 + 4х - 3 < 0.

Решая уравнение х4 - 4х3 + 2х2 + 4х - 3 = 0, находим корни х1 = -1, х2,3 = 1, х4 = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде

(х - 1) 2(х + 1)(х - 3) < 0.

Найденные корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на каждом из которых левая часть неравенства, а значит, и исходного неравенства сохраняет знак. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков (достаточно значения х подставлять только в последний два сомножителя), получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что неравенство выполняется на промежутках (-1; 1) и (1; 3).

Так как неравенство строгое, то числа -1, 1, 3 не входят в решение неравенства.

Ответ: (-1; 1)(1; 3).

Дробно-рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства

> 0 (5)

где Рn(х) и Qm(х) многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) 0), получим неравенство

Рn(х) Qm(x) > 0,

эквивалентное неравенству (5).

Дробно-линейным называется неравенство вида

> k

где a, b, c, d, k некоторые действительные числа и с 0, (если с = 0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное, неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки <, , . Решение дробно-линейного неравенства сводится к решению квадратного неравенства. Для этого необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (сх + d)2, положительное при всех хR и x -d/c.

Пример: Решить неравенство

< -1.

Решение: Прибавляя к обеим частям неравенства 1, получим неравенство вида (5).

< 0,

которое эквивалентно неравенству

х2(х2 - х - 2) < 0.

Множество решений последнего неравенства находится методом интервалов: х( -1;0)(0;2).

Ответ: х(-1;0)(0;2).

Пример: Решить неравенство

.

Решение: Перенеся все члены неравенства в левую часть, получим

- - 0, или 0, откуда 0.

Пользуясь методом интервалов и учитывая знак неравенства, заключаем, что решением неравенства является объединение полуинтервалов: [-4; -3)(-1; 1].

Ответ: [-4; -3)(-1; 1].

Пример: Решить неравенство:

0.

Решение: Полагая х 0 и х 3, разделим обе части неравенства на положительную дробь и получим и сразу заметим, что х = 0 удовлетворяет заданному неравенству, а х = 3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с нечетными показателями степени заменим соответствующими множителями первой степени (ясно, что при этом знак выражения в левой части неравенства не изменится). В результате получим более простое неравенство, равносильное заданному для всех х0 и х3:

0.

Начертив кривую знаков, заштрихуем промежутки удовлетворяющие этому неравенству, и отметим на той же оси точки х = 0 и х = 3. Учитывая, что значение х = 0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит заштрихованному промежутку, его следует дополнительно включать в ответ. Значение х = 3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихованному промежутку; следовательно, это значение нужно исключить. Итак, получаем ответ: (-; -4)[1; 3) (3; 4,5]U0.

Ответ: (-; -4)[1; 3)(3; 4,5]U0.

Пример: Решить неравенство

< 0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, переписываем данное неравенство в виде

< 0.

Точками, в которых множители меняют знаки, являются -5, 1, 2, 6. Они разбивают числовую ось не интервалы (-; -5), (-5; 1), (1; 2), (2; 6),(6; +). С помощью кривой знаков находим интервалы, где выполняется неравенство: (-5; 1) и (2; 6). При этом из (-5; 1) надо удалить точку 0, так как в этой точке выражение обращается в нуль. Итак, получаем ответ в виде (-5; 0)(0; 1)(2; 6).

Ответ: (-5; 0)(0; 1)(2; 6).

Пример: Решить неравенство

< 0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде

< 0.

Нанесем числа 0, 1, 2, 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль, на числовую ось. Они разбивают числовую ось на пять промежутков.

С помощью пробных точек найдем знак выражения в каждом промежутке.

Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: (-; 0), (0; 1), (2; 5).

Ответ: (-; 0)(0; 1)(2; 5).

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.

Пример: Решить неравенство

х2 - 2 + х < 0. (*)

Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х2 - 2, стоящего под знаком абсолютной величены.

1) Предположим, что

х2 - 2 0,

тогда неравенство (*) принимает вид

х2 + х -2 < 0.

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 -2 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): х(-2; -].

2) Предположим, что х2 - 2 < 0, тогда согласно определению абсолютной величены имеем х2 - 2= 2 - х2, и неравенство (*) приобретает вид

2 - х2 + х < 0.

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 - 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1).

Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)

Ответ: х(-2; -1).

В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде

х - 2 < -х.

Построим функции y1 =х2 - 2 и y2 = -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y1<y2.

На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х.

Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство х2= х2.

Пример: Решить неравенство

> 1. (*)

Решение: Исходное неравенство при всех х -2 эквивалентно неравенству

х - 1> х + 2. (**)

Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство

6х < -3,

т.е. х < -1/2.

Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех х(-; -2)(-2; -1/2).

Ответ: (-; -2)(-2; -1/2).

Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

> 1.

Решение: Так как х +1 0 и, по условию, х +1 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > х +1. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств -(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5,

откуда

Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.

Ответ: 0.

Пример: Решить неравенство:

х - 2 .

Решение: Пусть х = y. Заметим далее, что х + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 (y -2)(y + 1), или y2 - y 0, или 0 y 1, или 0 х 1. Отсюда -1 х 1.

Ответ: [-1; 1].

Пример: Решить неравенство

х2 - 3х + 2+ 2х + 1 5.

Решение. х2 - 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -?. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

1. х < -Ѕ. В этом случае х2 - 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство х2 - 3х + 2 - 2х - 1 5, х2 - 5х - 4 0. С учетом условия х < -Ѕ находим х -Ѕ.

2. - Ѕ х 1. Имеем неравенство х2 - х - 2 0. Его решение -1 х 2. Следовательно, весь отрезок -? x 1удовлетворяет неравенству .

3. 1 < x < 2. Получаем х2 - 5х + 6 0; х 2 или х 3. Вновь подходит весь интервал.

4. х 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.

Ответ: х 2.

Пример: Решить неравенство.

х3 + х - 3- 5 х3 - х + 8.

Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.

х3 + х - 3 - 5 х3 - х + 8, х3 + х - 3 х3 - х + 13

х3 + х - 3 - 5 -х3 + х - 8 х3 + х - 3 - х3 + х - 3

х3 + х - 3 х3 - х + 13 х 8,

х3 + х - 3 -х3 + х - 13, х3 -5,

х3 + х - 3 -х3 + х - 3, х3 0,

х3 + х - 3 х3 - х + 3 х 3

- х 8, - х 8.

х - любое

Ответ: - х 8.

Неравенства с параметрами.

Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.

Пример: Для всех значений а решить неравенство

aх > 1/x.

Решение: Запишем неравенство в виде

> 0,

тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств:

ax2 - 1 > 0, ax2 - 1 < 0,

x > 0; x < 0.

Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде:

ax2 > 1.

При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2 > 1/a, множество решений которого х < -1/ и x > 1/. В этом случае решения первой системы: х(1/; ). При а 0 левая часть неравенства ах2 -1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.

Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 - 1<0 будут значения х(-1/; 1/), а решениями системы значения х(-1/; 0). При a 0 левая часть неравенства ах2 -1 < 0 отрицательна при

любых значениях х, т.е. это неравенство выполняется при все хR и, следовательно, решениями системы будут значения х(-; 0).

Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера.

Для этого рассмотрим отдельно два случая а > 0 и а 0 и для каждого из них построим графики функций, стоящих в левой и правой частях исходного неравенства. Заштрихованные промежутки оси Ох представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и неравенств с параметрами.

Ответ: Если а 0, то х(-; 0); если а > 0, то х(-1/; 0)(1/; ).

Пример: Решить неравенство:

< .

Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m2х + 3 - 2mx2 - 6 < m + 9x; mx2 - 9x < m + 3; (m - 3)(m + 3)x < m + 3. Далее находим решение неравенства при различных значения параметра m:


назад | 1 2 3  4 5  | вперед