Я люблю:

 
 
 
Rambler's Top100
 
 
 
 

дипломная работа «Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии»

Вид:дипломная работа

Описание

Подходы к определению многогранника и его видов. Подходы к определению выпуклого и правильного многогранника. Изучение темы "Многогранники" в школьном курсе стереометрии. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников.

Скачать бесплатно [157 K]


метрии 10-11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.

Как и в [4], особенностью учебника является раннее введение пространственных фигур, в том числе многогранников, в п.3 «Основные пространственные фигуры». Цель - сформировать представления учащихся об основных понятиях стереометрии, ознакомить с пространственными фигурами и моделированием многогранников. Вводиться понятие многогранника как пространственной фигуры, поверхность которой состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны этих многоугольников называются ребрами многогранника, а вершины многоугольников - вершинами многогранника.

Учащимся демонстрируются следующие многогранники:

- куб - многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;

- параллелепипед - многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов;

- прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого грани - прямоугольники;

- призма - многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма два противоположных ребра лежат на основаниях призмы);

- прямая призма - призма, боковые грани которой - прямоугольники; правильная призма - прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники;

- пирамида - многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды;

- правильная пирамида - пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны.

Показываются более сложные многогранники, в том числе правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Рассматривается несколько способов изготовления моделей многогранников из разверток и геометрического конструктора. Моделирование многогранников служит важным фактором развития пространственных представлений учащихся.

Таким образом, к началу непосредственного изучения темы «Многогранники» учащиеся уже знакомы (на доступном для них уровне ) с традиционным материалом по этой теме. Появляется возможность расширить представления учащихся о многогранниках, рассмотрев с ними более подробно правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.

Основная цель данного раздела - ознакомить учащихся с понятием выпуклости и свойствами выпуклых многогранников, рассмотреть теорему Эйлера и ее приложения к решению задач, сформировать представления о правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках.

Можно привести примерное тематическое планирование данной темы.

Пункт учебника Содержание Кол-во часов
18 Выпуклые многогранники 2
19 Теорема Эйлера 2
20* Приложения теоремы Эйлера 2
21 Правильные многогранники 2
22* Топологически правильные многогранники 1
23 Полуправильные многогранники 2
23 Звездчатые многогранники 1

Среди пространственных фигур особое значение имеют выпуклые фигуры и, в частности, выпуклые многогранники. Данное понятие в учебнике вводится следующим образом: многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Далее рассматриваются свойства выпуклых многогранников.

После изучения выпуклых многогранников рассматривается теорема Эйлера и ее приложения. В качестве таких приложений рассматриваются задача о трех домиках и трех колодцах, проблема четырех красок, вводится понятие графа.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Рассматриваются пять видов правильных многогранников, некоторые виды полуправильных и четыре звездчатых многогранника.

При изучении правильных, полуправильных и звездчатых многогранников следует использовать модели этих многогранников, изготовление которых описано в учебнике, а также графические компьютерные средства. [28], [27], [29], [30]

2.3 Учебник Александрова А.Д.

Данный учебник предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе не доступны даже для «сильных» учеников, например, сферическая геометрия.

Отметим особенности изучения многогранников в данном учебнике. Во-первых, многогранники изучаются после круглых тел. Во-вторых, при изучении многогранника и его элементов прослеживается связь с многоугольником. Вследствие чего возможны две последовательности изложения темы: 1) обобщить понятие многоугольника, затем разобрать аналогичные вопросы в пространстве; 2) пользуясь §21 учебника, дать сначала определение многогранника, далее обобщить понятие многоугольника. Особенностью является введение двух определений призмы (как в учебниках, рассмотренных выше, и как цилиндр, в основании которого лежит многоугольник), причем доказывается равносильность этих определений. Аналогично дается другое определение пирамиде: как конус с многоугольником в основании. Пункт 23.6 содержит раздел о триангулировании многогранника, и в нем дается другое, конструктивное определение многогранника. §24 «Выпуклые многогранники» впервые излагается в столь серьезном виде, рассматривается вопрос равносильности двух определений выпуклого многогранника. Изложение темы «Правильные многогранники» также отличается от ее изложения в учебниках по геометрии других авторских коллективов: сначала показываются пять типов правильных многогранников, построением доказывается, что все пять типов правильных многогранников существуют, и только после этого доказывается, что других правильных выпуклых многогранников быть не может. Обычно же после определения сразу доказывалась теорема, а существование показывалось позже, что усложняло методику рассказа.

Таким образом, учебник содержит очень богатый теоретический материал по многогранникам, которого нет в других учебниках по геометрии, также он может быть использован как учебник для дополнительного изучения в основной школе. Ниже в таблице приведено примерное поурочное планирование материала. [3],[20]

№ урока Содержание учебного материала
1-2 Обобщение понятие многоугольника. Многогранник.
3-5 Призма, параллелепипед. Упражнения.
6-10 Пирамида. Виды пирамид. Упражнения.
11-13 Выпуклые многогранники.
14-16 Теорема Эйлера. Развертка выпуклого многогранника.
17-19 Правильные многогранники.
Подводя итоги выше сказанного, можно сказать, что во всех учебниках при изучении многогранников рассматривается практически одни и те же основные темы: определение многогранника, выпуклые многогранники, призма, пирамида, правильные многогранники. Разница лишь в глубине изучения этих вопросов: в гуманитарных классах [28] тема изучается более поверхностно, практически без доказательств, в классах с углубленным изучением математики [3] данный вопрос рассматривается глубоко, с научными обоснованиями. Также есть различия в некоторых дополнительных темах, например, полуправильные и звездчатые многогранники рассматриваются только в [28]. В настоящее время во многих общеобразовательных школах идет обучение по учебнику [4], поэтому при выборе содержания можно опираться на него.

3. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников.

Тема «Многогранники», как никакая другая тема школьного курса стереометрии, за исключением, быть может, изучения круглых тел, дает широкие возможности использования различных наглядных средств.

Наглядность является обязательным качеством любого обучения. Путем целенаправленных действий мы формируем в сознании учащегося некоторую систему понятий, отношений между ними. Для того чтобы обучение было успешным, необходимо, чтобы ученик мог воспринимать эту систему и работать с ней. Но для этого, в свою очередь, необходимо предъявить ученику некоторую ее материальную модель. Для этого применяют наглядные средства обучения. Например, если изучается понятие пирамиды, то такой моделью может быть: 1) словесное описание (определение) этого понятия; 2) объемная модель пирамиды (каркасная или сплошная); 3) ее развертка; 4) изображение пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране и т. п. Все перечисленные объекты являются материальными моделями, с той или иной стороны отражающими понятие пирамиды.

Основными наглядными средствами при изучении многогранников являются объемные модели. Такие модели, сделанные из разных материалов, соответствуют различным дидактическим целям.

Так, например, с помощью картонной модели можно показать форму многогранника. Также на таких моделях удобно показать развертку поверхности тела. Но из-за непрозрачности картона уже нельзя использовать картонные многогранники для демонстрации сечения тел и тел, вписанных друг в друга. Стеклянные модели рекомендуется использовать в тех случаях, когда необходимо показать в многограннике сечение или другое вписанное в него геометрическое тело. Деревянные модели отличаются прочностью. Проволочные каркасные модели также находят широкое применение на уроках стереометрии. Они позволяют показать виды, элементы и проекцию многогранника на плоскость (тень модели на листе белой бумаги), сечение многогранника плоскостью, комбинации геометрических тел. Такая модель является связующим звеном между объемной моделью многогранника и чертежом на бумаге. Можно перечислить серии каркасных моделей, которые могут быть использованы на уроке: набор моделей правильных призм и пирамид (полных и усеченных), набор моделей четырехугольных пирамид, вершины которых проектируются в точку пересечения диагоналей основания (кроме основного контура, модель должна иметь высоту, диагональ основания и высоты боковых граней), набор моделей на комбинации многогранников.

Выпускаемые промышленностью модели не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обучении школьников математике. Поэтому учителя часто прибегают к изготовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют необходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усовершенствования, учитель привлекает учащихся к изготовлению нового варианта модели. Это содействует получению учащимися более глубоких и прочных знаний, умений применять теоретический материал на практике. Модели как фабричного, так и самодельного изготовления могут быть использованы при введении новых понятий и доказательстве теорем, при решении задач, при выполнении практических и лабораторных работ.

Другим удобным видом учебного оборудования являются резиновые штемпели (штампы) с изображением различных плоских и объемных фигур, графиков, таблиц и т. д. К сожалению, такое средство обучения сейчас редко встречается в школе. При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штемпелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени. Естественно, применение штемпелей недолжно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен вначале научить учащихся изображать фигуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных контрольных заданий. Можно, например, заготовить 35-40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, проставив размеры, получить набор индивидуальных заданий.

Также при изучении многогранников можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его закреплению. С помощью рабочих таблиц возможно осуществить выполнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков, можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед всем классом. Например, при ведении понятия «пирамида» можно использовать таблицу с изображением пирамиды, ее основных элементов и частных видов. В отличие от рабочих таблиц справочные таблицы, т.е. таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зрительный аппарат учащегося. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является (помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль) их дидактическая направленность. Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др. Примером таких таблиц может служить таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», в которой изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади поверхности для каждого вида.

Большие возможности воспитания самостоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной основой. В настоящий момент они все чаще появляются в школах. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоятельной работы на этапе закрепления и повторения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально использовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста заданий и основное внимание сосредоточивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь. Как правило, такие тетради чаще используются в младших классах. Тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Задания могут дать ученику образец способа рассуждений, решения, данные в тетради, могут содержать пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью (причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций). Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать понятия и прививать учащимся навыки решения типовых задач.

Также нельзя забывать и про такие средства обучения как диапозитивы, кодопозитивы, компьютерные средства, которые могут быть эффективно применены при изучении многогранников и не только их.

Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний. Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдвигается даже дидактическое правило: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики. Принять такую точку зрения и вытекающее из нее дидактическое правило нельзя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступенях обучения.

Таким образом, готовясь к конкретному уроку, учитель выбирает те средства, с которыми легче организовать необходимую работу учащихся, т. е. наиболее в данный момент простые для их восприятия. Например, если на уроке предполагается начать знакомство с понятием какого-то частного вида многогранника, то наиболее удобными окажутся объемные изображения или изображения на киноэкране. В процессе же закрепления этого понятия достаточно просты для восприятия плоские чертежи или словесные описания.

Таким образом, чтобы некоторая материальная модель позволяла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприятия учащихся. [19], [21]

4.Опорные задачи по теме «Многогранники».

Как уже говорилось, изучение многогранников является важнейшей частью курса стереометрии. Они дают богатый задачный материал как при изучении самой темы «многогранники», так и при изучении последующих тем стереометрии. Чаще всего в учебниках мало простых задач «на геометрические тела», поэтому на уроке удается решить всего 2-3 задачи средней трудности. Но они не всем ученикам под силу. Если ограничиваться только такими задачами, то многие ученики не смогут принимать активное участие в их решении, и будут отставать. Если же специально уделять на уроке время для задач, которые сводятся к одной-двум операциям и потому доступны для устного решения, то можно втянуть в работу всех учеников.

Устное решение задач «на многогранники» значительно улучшает пространственное мышление учащихся, которое играет важную роль в стереометрии. Поэтому подробнее остановимся именно на таких задачах.

Так как основные геометрические тела, изучаемые в школе, это призмы и пирамиды, то задачи, приведенные ниже, посвящены темам: «Призма. Пирамида. Их сечения. Площади полной и боковой поверхностей». Кроме того, задачи разбиты на типы: задачи на доказательство, на исследование, на построение, на вычисление.

Большое количество задач можно предлагать для решения вместе с готовым рисунком, когда один рисунок будет сопровождать несколько задач, в которых идет речь об одном и том же геометрическом теле. Но готовые рисунки сопутствуют далеко не всем задачам, поскольку само изготовление изображения является важной частью решения. Учитель может варьировать стратегию обучения. В одних случаях - начинать с готового рисунка, а в других демонстрировать рисунок (на откидной доске или на экране) только после того, как учащиеся сами сделали нужные изображения в своих тетрадях.

4.1 Задачи по теме «Призма».

Для простоты введем обозначения. Буквами а, b, c обозначим соответственно длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, буквой d - длину диагонали основания. Прописные буквы Н, D и P соответствуют высоте, длине наибольшей диагонали призмы и периметру ее основания, а буквы s, Q , Sб и Sn - площадям: s - основания, Q - диагонального сечения, Sб - боковой поверхности, Sn - полной поверхности призмы. Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания обозначаем греческой буквой г.

1) Задачи на вычисление.

Четырехугольная призма.

Перед решением задач 1 и 2 следует повторить формулы для вычисления элементов куба со стороной a:

, , , .

Задача 3 и некоторые из следующих за ней, в которых речь идет о прямоугольном параллелепипеде, потребуют использования формул:

D2= а2+ b2+ с2 ,d2=a2 +b2 , s = аb, Q = d с, Sб= Р•с.

1. Ребро куба равно а. Найдите: диагональ грани; диагональ куба; периметр основания; площадь грани; площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной и той же вершины. .

2. По рис. 4.1 и по данным элементам в табл. 1 найдите остальные элементы куба.

Таблица 1

а d D s Q
5
14
11
196

3. По рис.4.2 и по данным элементам в табл. 2 найдите остальные элементы прямоугольного параллелепипеда.

Таблица 2.

а b с d D г s Q


назад | 1 2  3 4 5  | вперед